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    人造衛星引力勢能公式的微積分推導

    王尚老師微信

    本文系統闡述萬有引力產生的引力勢能概念,引力勢能計算式的推導過程(微積分),引力勢能與引力做功關系。

    由引力勢能反思:高考物理復習注意知識回顧

    高考物理命題的一大特點就是綜合,一道復雜的計算題,往往會涉及到多個章節的內容,需要聯立很多公式求解計算。

    對高三學生而言,在復習完了《機械能》這個章節之后,我們就會反過頭來研究上個章節《萬有引力與航天》部分的能量:引力勢能。

    同學們可以看一下第六章《萬有引力與航天》的內容,這個章節中我們一直探究的是物理量是:萬有引力、向心力、星體的周期、密度等物理量,沒有研究能量的涉及;因為能量和功率是在《機械能》這部分才講的。

    引力勢能的微積分推導視頻講解

    引力勢能的概念

    物體由于受到萬有引力的作用而具有的能量,叫做引力勢能。引力勢能與萬有引力做功之間存在對應關系。

    引力勢能大小與萬有引力做功

    引力勢能增加的過程,物體在克服萬有引力做功,做功的大小與引力勢能的增加量相等。

    引力勢能減小的過程,則萬有引力對物體做正功,做功的大小與引力勢能的減小量相等。

    天體中的引力勢能

    人造衛星能量分析

    天體運動而言,研究的主要能量是引力勢能+動能。

    人造衛星的總能量包括兩種類型:動能和引力勢能。總能量為兩者之和;這里的引力勢能是衛星相對于地球(而非太陽)而言的。

    對人造衛星而言,距離地球越遠,具有的總能量越大。

    具體來看:

    R越大,E總=Ek+Ep越大;

    R越大,Ek越小;

    R越大,Ep越大;

    (Ep的增量比Ek的減量要大,或者說Ep增大的率,要比Ek減小的率大)

    宇宙速度

    Ek隨著軌道半徑R減小,可以通過向心力=萬有引力的公式與動能的定義式推導出來。

    在宇宙中的運動,如果推力器的引擎是關閉的,那么人造衛星的機械能是守恒的,因為只有重力做功;運動過程中,只有引力勢能和動能之間的轉化。

    補充一點:人造衛星一分為二的過程除外;該過程是動量守恒

    只有萬有引力做功下衛星的運動能量分析

    只有萬有引力做功,衛星的機械能是守恒的。

    在衛星的實際運行中,往往是要借助推進器的能量(如化學能、電能、核能),實現衛星的加速(或改變運動軌跡),提高衛星的總能量。

    同樣的逆過程,也是成立的。比如隕石撞地球,就是地球引力對隕石做功,增大隕石動能的過程。從能量的角度來看,就是引力勢能轉化為了隕石的動能。

    人造衛星引力勢能公式的微積分推導

    引力勢能wuli.in的物理表達式是:Ep=-GMm/R;

    其中Ep是引力勢能,G是萬有引力常量;M是地球的質量,m為研究對象的質量,R為m距離地球中心的距離;負號表示的是,引力勢能為負值。因為我們規定的是無窮遠處為零勢能面。

    引力勢能的表達式是怎么來的?王尚老師給同學們做了一個微積分的推導,見下圖所示:

    其中A為人造衛星目前所在的位置;B為無窮遠處的一個點(該點的引力勢能為零);

    把質量為m的衛星從A推到B點,至少要做的功的計算式如下圖:

    引力勢能公式推導過程(微積分)

    王尚新書物理自診斷每道題都有視頻講解,哪道題不會掃題旁二維碼即可看視頻,學習更高效考試分數更高,歡迎添加微信teacherws咨詢。從功和能之間的關系來分析,功的大小,等于能量的大小。只不過,在A點衛星的勢能為負的。

    為什么是負的,同學們可以想一想把一個物體舉高的過程,做的功與重力勢能的改變及對應關系。對這一點不熟悉的同學,在解題的時候可以考慮都計算正數,最好再來討論正負號的問題,這樣是有利于多的分數的。

    為了便于同學們深入理解引力勢能的推導過程,我們再來復習一下功能關系的相關概念。

    功能關系

    我們先來對功和能的聯系與區別進行復習,功能關系詳細解析請看本文底部的參考文章。功是一個過程量(某個時間段內做的功),能量是一個狀態量(對應某個時刻的能量)。

    兩者的單位是相同的(都是J),但不能說功就是能,也不能說“功變成了能”。

    功是一種過程量,它和一段位移(一段時間)相對應。

    能是一種狀態量(靜態量),它和一個時刻相對應。

    或者說,能量是一個“點”,而功是從一個點到另一個點之間的“線”。

    在不同形式的能量發生相互轉化的過程中,功扮演著重要的角色,但不能說功就是能,也不能說“功變成了能”。  

    功能關系到底在說什么?

    我們先來說結論。功能關系研究的問題是:在研究過程中,力所做的功,到底轉化為了什么能量? 

    高中物理課本上有這么一句話,做功的過程是能轉化的過程,功是能轉化的量度。這句話說得很抽象,很深奧,同學們需要借助具體模型來理解,比如類似重力做功與重力勢能關系,比如彈簧彈力做功與彈性勢能變化關系,比如類似今天我們探究的引力做功與引力勢能模型來理解。

    從功能關系不難看出:引力勢能與萬有引力做功之間的相互對應關系。具體是:

    引力勢能增加的過程,物體在克服萬有引力做功,做功的大小與引力勢能的增加量相等。

    引力勢能減小的過程,則萬有引力對物體做正功,做功的大小與引力勢能的減小量相等。

    引力勢能學習問題與王尚老師答疑

    王尚老師物理答疑

    學生問題:第二宇宙速度與引力勢能有何關聯?

    王尚老師:第二宇宙速度指的是,從地球表面以該速度發射衛星,衛星會逃逸出地球的引力,成為繞著太陽運行的人造行星。第二宇宙速度的大小是13.4km/s,具體推導過程可看下方王尚老師的參考文獻。第二宇宙速度其實就是讓衛星的速度達到,足以克服地球引力勢能,從而從地球的引力范圍內逃逸出去,進入太陽系。想深入理解萬有引力與人造衛星等考點,筆者推薦同學們認真做物理自診斷專題15、專題16與專題17的習題,把視頻都好好看看。

    學生問題:引力勢能的表大會,為何是負數?

    王尚老師:與重力勢能類似,我們研究所有的勢能(包括電勢能)都是要首先規定零勢能面的。如果我們規定地面為零勢能面,那么地下室的物體所具有的引力勢能就都是負的。即把這些物體,搬到地面上是要做功的,要克服重力做功。同一的道理,我們規定了無窮遠處為零引力勢能面,就像是規定樓頂為零勢能面,所有的居民所具有的勢能就都為負數了。您最好是畫個圖,再結合文章上方的視頻去理解一下。想深入理解萬有引力與人造衛星等考點,我推薦大家認真做物理自診斷專題15、專題16與專題17的習題,把視頻都好好看看。

    參考文獻

    六大宇宙速度介紹http://www.q6113.com/top/473865.html

    三大宇宙速度http://www.q6113.com/zongjie/kaodian/437663.html

    開普勒三大定律http://www.q6113.com/top/480421.html

    人造衛星http://www.q6113.com/zongjie/kaodian/480392.html

    萬有引力http://www.q6113.com/zongjie/kaodian/43180.html

    三個宇宙速度的數值http://blog.teacherws.com/wen/13451.html

    高中物理必修2重要考點匯總http://www.q6113.com/zongjie/b2/480777.html

    第二宇宙速度的推導http://i.www.q6113.com/research/14199.html

    功能關系http://www.q6113.com/zongjie/kaodian/43174.html

    作者:王尚,蘇陽。校正:齊思源。版權歸屬高中物理網(www.q6113.com),嚴禁轉載。

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